Ähm. Nö.
Du hast doch nen Smartphone. Und auch ein Tablet. Damit kannst Du die Rechnung doch auch erstellen und verschicken.
Papier ist oldschool und in Zeiten von green... und blue... total überflüssig. Das Problem ist ein anderes: Dein Verarbeitungprozess ist schlecht! 
Du willst doch eigentlich nur, dass Dein Mitarbeiter die zu bearbeitenden Aufträge aus der Ablage abarbeiten kann. Kann das denn Dein Shopsystem nicht leisten? Der Auftrag, etwas zu tun, kann schließlich genau dann durchgeführt werden, wenn alle vorigen Arbeiten (die sind ja Deine Sache), abgeschlossen sind. Das sollte Dein Shop ja genau im Auge haben. Und Druckaufträge erstellen kann ja auch nicht so schwierig sein. Wenn es immer ausgedruckt werden muß, kann die Software den Drucker doch auch direkt mit Daten beschicken. Machts offensichtlich aber nicht...
Eigentlich erwarte ich das von einem Shopsystem. Das hat ja nicht nur ne Kundenschnittstelle. Genauso wichtig oder vielleicht noch wichtiger sind die Tools für die Prozesse im Hause. Wareneingang, Warenausgang, Buchhaltung... Ein Shopsystem ist ja nicht nur die Webseite und wie sie sich dem Kunden darstellt oder wie man Produkte einpflegt. Ich erwarte da noch eine ganze Menge mehr, damit alle Prozesse eines Unternehmens nahtlos miteinander arbeiten können.
Bei Dir klappt das noch gut - aber das ist auch noch nicht so ein Wunder, denn Dein Shop ist ja nicht riesengroß. Im Prinzip aber funktionierts doch bei Dir auch nicht anders als bei amazon oder zalando. Nur eben nicht so hoch automatisiert wie bei denen. Aber Du kannst Dich ja mal fragen, wie denn die Aufträge vom Rechenzentrum in ein beliebiges Auslieferungslager geleitet werden und ob da auch gleich die richtige Frankierung für die Verpackung mit ausgedruckt wird... Da steckt eine Menge Gehirnschmalz hinter und im Normalfall ein Workflow Managementsystem.
Das Fax benutzt du nur deshalb, weil das ein Drucker ist, der ständig an ist und Dein Mitarbeiter dann eben nur die Zettel rausnehmen muß. Das ist ein Service, der auf Rechnungen (oder andere Dokumente) wartet und die dann auch gleich ausdruckt. Damit Fax funktioniert, muß es die Standards erfüllen: Fax G3 (analog) Fax G4 (digital/ISDN). Damit ist die Schnittstelle definiert.
Wenn man das alles weiß, kann man eigentlich auch hergehen und den Service ändern. Dein Faxgerät ist da allerdings unflexibel. Das kann eben nichts anderes als Faxe. Schau mal z.B. auf HP ePrint. Der Drucker bekommt einen Netzwerkanschluss und eine eigene Mailadresse. Dann kannst Du dem Drucker direkt eine Mail schicken und die druckt er dann auch direkt aus.
Perfekt ist das dann halt auch nicht, weil sich das immer noch nicht in Deine Shopanwendung integriert. Aber immerhin. Dafür muß Dein Drucker dauernd angeschaltet sein - aber das ist Dein Fax ja auch. Die perfekte Lösung ist es, wenn Du keine Rechnung irgendwo hinschicken mußt, sondern die Shopsoftware das aufgrund des Zustandes der Auftragsbearbeitung selber anstößt, weil Du die Rechnung an den Kunden ausgelöst hast.
Vorallem erlebt man jeden Tag eine neue Überraschung... "Tank fast leer, darf ich Sie zur nächsten Tankstelle leiten?" oder "Ihr Handyakku ist fast leer" oder das beste war mein erster Testanruf über die Sprachsteuerung und ich er rief plötzlich eine Ex-Freundin an und ich hab nur "ABBRECHEN!!!!" geschrien und fand in der Panik den Abbrechen Knopf nicht